Der Drei-Figuren-Satz

der Elementar-Geometrie

(Text und Abbildungen dürfen kopiert werden, aber ohne Veränderungen.)

  

Gegeben sind drei Figuren, die folgende Formen annehmen können:

Dreieck, regelmäßiges Vieleck (einschließlich Kreis und Polygramm)

und Tangenten-Viereck (einschließlich Drachenviereck und Pfeilviereck).

 

Satz: Transformiert man Figur 1 in eine andere Figur 2 mit gleicher Fläche wie Figur 1,

und in eine weitere Figur 3 mit gleichem Umfang wie Figur 1,

die jedoch zu Figur 2 ähnlich ist,

dann ist der Inkreis-Radius von Figur 2 das geometrische Mittel

aus den Inkreis-Radien von Figur 1 und Figur 3,

und somit gilt die Beziehung:

 

(Entdeckt 2016 von Markus Heisss; als Problem veröffentlicht in:

“Die Wurzel - Zeitschrift für Mathematik, Heft 11/2016, S. 263”, www.wurzel.org)

 

Beispiel 1: Verwandelt man ein Drachenviereck in ein Quadrat mit gleicher Fläche, und in ein Quadrat mit gleichem Umfang wie das Drachenviereck, dann ist der Inkreis-Radius des flächengleichen Quadrats das geometrische Mittel aus den Inkreis-Radien des Drachenvierecks und des umfangsgleichen Quadrats.

 

Drei-Figuren-Satz der Elementar-Geometrie, mit Drachenviereck und Quadraten, entdeckt von Heisss, Würzburg

 

 

Beispiel 2: Verwandelt man ein beliebiges Dreieck in ein gleichseitiges Dreieck mit gleicher Fläche, und in ein gleichseitiges Dreieck mit gleichem Umfang wie das beliebige Dreieck, dann ist der Inkreis-Radius des flächengleichen gleichseitigen Dreiecks das geometrische Mittel aus den Inkreis-Radien des beliebigen Dreiecks und des umfangsgleichen gleichseitigen Dreiecks.

 

Drei-Figuren-Satz (oder auch: Drei-Formen-Satz, Drei-Figuren-Gesetz, Drei-Figuren-Regel, Drei-Formen-Gesetz) der Elementargeometrie

 

 

Beispiel 3: Verwandelt man einen Kreis in ein Quadrat mit gleicher Fläche, und in ein Quadrat mit gleichem Umfang, dann ist der Inkreis-Radius des flächengleichen Quadrats das geometrische Mittel aus den Radien des Kreises und des Inkreises des umfangsgleichen Quadrats.

 

Das bedeutet: Wäre die Rektifikation eines Kreises möglich, dann wäre auch die Quadratur des Kreises möglich. (Unter Rektifikation versteht man das Abrollen des Kreisumfangs zu einer Strecke.)

 

Quadratur des Kreises, Drei-Figuren-Satz der Elementar-Geometrie; entdeckt von Markus Heiss, Würzburg;

 

 

Beispiel 4: Verwandelt man ein Pfeilviereck (Deltoid) in ein Quadrat mit gleicher Fläche, und in ein Quadrat mit gleichem Umfang wie das Pfeilviereck, dann ist der Inkreis-Radius des flächengleichen Quadrats das geometrische Mittel aus den Inkreis-Radien des Pfeilvierecks und des umfangsgleichen Quadrats.

 

Inkreis-Konstruktion bei einem Pfeilviereck (Deltoid)
geometrisches Mittel, Anwendung am Drei-Figuren-Satz der Elementar-Geometrie; mit Pfeilviereck (Deltoid) und Quadraten; entdeckt von Markus Heiss aus Würzburg

 

Der Beweis:

 

Drei-Figuren-Satz der Elementar-Geometrie, Beweis; entdeckt von Markus Heiss aus Würzburg

 

 

Schlussbemerkung: Wie gezeigt, gilt der Satz für alle (regelmäßigen und unregelmäßigen) Tangenten-Vielecke, bei welchen folglich die Formel A = r s angewendet werden kann. Es gibt auch einfache geometrische Formen, bei denen die Formel nicht funktioniert, wie z.B. Rechteck oder Halbkreis. Hier ist die Definition für den Inkreis nicht erfüllt, denn es werden nicht alle Seiten des Polygons durch den Inkreis tangiert. Interessant sind jedoch Formen wie Polygramme (z.B. Pentagramm) oder Pfeilvierecke (=konkave Drachenvierecke). Diese haben ebenfalls keinen "echten" Inkreis. Aber wenn man deren Seiten über die Endpunkte hinaus verlängert, dann lässt sich jeweils ein "Pseudo-Inkreis" einzeichnen, der die Bedingung A = s rpseudo erfüllt.

... Womit schließlich auch die anfangs beschriebene Beziehung dreier Figuren gilt.

 

 

Referenzen:

Magazin: “Die Wurzel - Zeitschrift für Mathematik, Heft 11/2016, S. 263”, www.wurzel.org

Website: https://markus-heisss.jimdofree.com/geometrie-handskizzen/